§ 高斯投影坐标正反算公式
任何一种投影 ① 坐标对应关系是最主要的； ② 如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（ C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。
1.1 高斯投影坐标正算公式： B,
x,y
高斯投影必须满足以下三个条件 ：
① 中央子午线投影后为直线； ② 中央子午线投影后长度不变； ③ 投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即 (8-10) 式中， x 为 的偶函数， y 为 
的奇函数； 
，即 
，如展开为 的级数，收敛。
（ 8-33 ）
式中 
是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。
由第三个条件知：
(8-33) 式分别对 和 q 求偏导数并代入上式
(8-34)
上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂 前的系数应相等，即
(8-35)
(8-35) 是一种递推公式，只要确定了 
就可依次确定其余各系数。 
由第二条件知 : 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X ，即 (8-33) 式第一式中，当 
时有：
(8-36)
顾及 ( 对于中央子午线 )
得：
(8-37,38)
(8-39)
依次求得 
并代入 (8-33) 式，得到高斯投影正算公式
(8-42)
1.2 高斯投影坐标反算公式
x,y B,
投影方程：
(8-43)
满足以下三个条件 ：
①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； ② x 坐标轴投影后长度不变； ③ 投影具有正形性质，即正形投影条件。
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
① 由 x 求底点纬度 ( 垂足纬度 )
, 对应的有底点处的等量纬度 
，求 x,y 与 
的关系式，仿照 (8-10) 式有，
由于 y 和椭球半径相比较小 (1/16.37) ，可将 
展开为 y 的幂级数；又由于是对称投影， q 必是 y 的偶函数， 必是 y 的奇函数。
(8-45)
是待定系数，它们都是 x 的函数 .
由第三条件知：
，
， (8-21)
(8-45) 式分别对 x 和 y 求偏导数并代入上式
上式相等必要充分条件，是同次幂 y 前的系数相等，
第二条件，当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度 ，也就是 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为 。也就是在底点展开为 y 的幂级数。
由 (8-45)1 式
依次求得其它各系数
(8-51)
(8-51)1
…………
将 
代入 (8-45)1 式得
(8-55)1
(8-55)
将 
代入 (8-45)2 式得 (8-56)2 式。 ( 最后表达式 )
② 求 
与 
的关系。
由 (8-7) 式 
知：
(8-47)
(8-48)
按台劳级数在 
展开
(8-49)
(8-50)
由 (8-7) 式可求出各阶导数：
(8-53)
(8-54)1
(8-54)2
…………………
将式 (8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54) 代入 (8-50) 式并按 y 幂集合得高斯投影坐标反算公式 (8-56)1,
(8-56)
归纳由 
求 
的基本思想 ：由点 
得到底点 
，将底点 f 作为过渡，也就是说将坐标原点 o 移到 f 点，先求 
关系式，再将 
关系式代入 
关系式得 
关系式，最后将坐标原点移回到 o 点 , 从而求得 
点。
1.3 高斯投影坐标正反算公式的几何解释
① 当 B=0 时 x=X=0 ， y 则随 l 的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为 y 轴。当 l=0 时 , 则 y=0,x=X, 这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为 x 轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。 ② 当 l= 常数时 ( 经线 ), 随着 B 值增加， x 值增大， y 值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因 
，即当用 -B 代替 B 时， y 值不变，而 x 值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。 ③ 当 B= 常数时 ( 纬线 ) ，随着的 l 增加， x 值和 y 值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用 -l 代替 l 时， x 值不变，而 y 值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。 ④ 距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。
